Propiedades del operador de Cesàro

Abstract

El desarrollo de este trabajo tiene como principal objetivo profundizar en el estudio de algunas de las características del operador de Cesàro. Así, se busca entender la naturaleza del operador haciendo uso de herramientas proporcionadas por el análisis matemático. Además, para una comprensión mas intuitiva, se incluyen ejemplos fáciles de visualizar. El contenido del trabajo se encuentra estructurado de la siguiente manera: El primer capitulo contiene resultados, notación y definiciones básicas, con las cuales se espera el lector esté familiarizado, dando explicaciones solo sobre los aspectos mas complejos. Dichos temas incluyen conceptos como norma y espacios normados, así como la topología inducida a partir de esta función, y la manera en que actúa la continuidad y la convergencia en un espacio de este tipo. En el segundo capítulo daremos una breve explicación sobre las álgebras y álgebras de Banach, junto con ejemplos básicos de estas como el conjunto de funciones acotadas y continuas, y el conjunto de polinomios, estudiadas también por Kreyszig (1991) en Introductory functional analysis with applications [4]. Retomando el espacio de operadores lineales acotados, mediante algunas construcciones se probara que este conjunto es un álgebra de Banach, y por último, mostraremos un sub algebra peculiar de este espacio, conformada por polinomios evaluados en un operador. El capítulo siguiente presenta a los operadores lineales acotados y sirve para exponer las propiedades que mas tarde verificaremos sobre el operador de Cesàro, tales como la compacidad de un operador, cuya definición, encontrada en Elementos de análisis funcional (Galaz, 2006) [1], se basa en la compacidad ya conocida para conjuntos; además de la ciclicidad, hiperciclicidad y superciclicidad de un operador, las cuales analizan como actúa un operador iterado sobre un punto y se ubican en Grados de ciclicidad de los operadores de Cesàro-Hardy (Galaz & Ruiz, 2013) [3]. En la parte final definiremos distintos espacios de sucesiones, junto con sus respectivas normas; todo esto con el objetivo de poder utilizarlos para la verdadera meta, analizar el comportamiento del operador de Cesàro en cada uno de estos espacios normados, estudiando su convergencia, acotamiento, compacidad, invarianza y ciclicidad.