La modificación de Vietoris

Abstract

Este trabajo se divide en cinco capítulos. En el primer capítulo se introducen conceptos y teoría necesaria para desarrollar el proyecto, tales como orden parcial, propiedades de derivadas, núcleos, entre otros conceptos similares. Luego, en el segundo y tercer capítulo se describirá la completación libre de un conjunto parcialmente ordenado a una ∨-semirretícula y de una ∧-semirretícula a un marco, para después definir una cubierta como una relación entre elementos de un conjunto parcialmente ordenado y ciertos subconjuntos. Es importante señalar que, si bien Simmons define una relación denominada presitio y otra denominada cubierta, otros autores como J. P. T. Johnstone en Stone Spaces definen una cubierta que, en el contexto de Simmons, corresponde a un presitio. En el cuarto capítulo se darán dos ejemplos de aplicaciones de esta técnica. El primero de estos es en espacios que resultan ser árboles. Con condiciones específicas se obtienen árboles conocidos como el árbol de Cantor y el árbol de Baire, a partir de los cuales se obtienen el espacio de Cantor y el espacio de Baire, respectivamente. En el segundo ejemplo se obtiene una cadena de cocientes, la cual eventualmente nos conduce al espacio de los números reales. Finalmente, en el quinto capítulo se construirá el marco de Vietoris mediante cubiertas.